如何在实际教学活动中发展幼儿的数学概念？行动、图像、符号表征方式快应用起来！
添加时间：2021-11-25 浏览次数：
数学认知是《3～6岁儿童学习与发展指南》的重要板块，它的教学目标是让幼儿初步感知生活中的数学，感知和理解数量关系，感知形状与空间关系。然而数学知识有较强的逻辑性和抽象性，对于思维还没有发育完全的幼儿来说，学习起来是有一定难度的。
很多家庭也很重视早期的数学教育，但由于家长缺乏关于数学教育的认识，很容易走入误区。而且很多幼儿园教师不知道如何开展数学领域的活动，也会因为活动没有新意而无法吸引幼儿的学习注意力。 其实幼儿是天生的学习者，研究发现：1岁左右是婴儿掌握初级数概念的关键期；2岁左右是婴儿计算能力发展的关键期。教师和家长要把握幼儿的关键期，从小培养幼儿的数学兴趣。
最新研究表明，手势有助于儿童数学学习
在行动表征上主要围绕手势和操作材料两个方面。过去数学学习不大主张用手指来帮助学习，我们认为这是比较低级思维的表现，但最新的研究表明，手势的确有助于儿童的数学学习。
芝加哥大学做了一项研究实验的对象是二年级的学生，对于“2+9+4=？”的数学问题，老师用了两种方式与孩子们探讨。一种是纯语言的提问，另一种是老师用语言再加手势，帮助孩子把数学问题直观化。结果显示，语言加手势这一组的儿童做同一类数学问题的正确率都高于纯语言的，并且在统计学上有显著差异，这种学习效果还表现在儿童解决不同类型的数学方面，这说明学习能力是有迁移的。 幼儿园的老师或许有所疑惑，因为幼儿园不会教这些具体数学计算问题，这个实验的意图是什么？不错，二年级学生的数学问题是不会在我们学前儿童教室出现的，但是这个研究却给了我们一个启示，也就是说手势是可能有助于儿童数学学习的。在幼儿数学教育中，实际上老师也用了很多的手势，比如举起手指提问这里一共有多少，你看这是高还是低，是长还是短，是近还是远，这是圆形还是三角形等。
我们不要忘记用手指和玩手指的游戏，手指是我们随身携带的，可以帮助孩子理解10以内小数量的工具；研究表明灵活地运用手指能促进儿童的数学认识；当把手指与有关数量的儿歌、图像、符号还有数学书写联系起来时，我们就把儿童的具体思维、形象思维和抽象思维都结合在一起了。
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一般而言操作材料是具体的、直观的，它们有不同的颜色、形状、大小、类型，由于儿童思维的具体性和直观性决定他们首先注意到的是这些材料的表面特点，而不会形成数的概念。譬如说孩子看到一个纸杯时会认为是用来喝水的，铅笔是用来画画的，熊妈妈和熊爸爸是一家人，这些具体的材料不会自动帮助儿童形成数的概念。
这个关系的连接并不是直接的，我们再举个例子，一个苹果被平均分为4等分，当孩子看到这个苹果时，他们首先想到的可能是颜色，可能是味道，他不会自然的把4份苹果和均分的概念联系在一起。当然均分不仅仅是分苹果，可以是纸张，也可以是其他材料的分类。也就是说均分是一个抽象的概念，而操作的材料是具体的。这里引用两位美国心理学家谈论儿童数学学习时提及的问题，第一个是密西根大学的Deborah Ball，他说“尽管肌肉运动有助于儿童的感知和思维，理解不会直接从手指上传递至胳膊，在大脑中构建概念的”。我们知道儿童的思维是具体的形象，但有了具体感知的东西，并不能直接等同于概念的形成。
还有一位心理学家 David Uttal，他是西北大学的教授，他说“幼儿不是总能够把操作材料与其代表的数学概念概念连接起来的”。但这并不是说我们不需要操作材料了，其实操作材料在幼儿数学学习中至关重要，它为抽象的数学概念奠定了一个必要的、可摸的、可动的思维台阶。
对于操作材料的选择大有研究，在儿童刚接触数学概念时，应该选择视觉冲击较小或者颜色、形状、大小、类型相同的材料，把儿童的注意力从材料表面的现象、特点转移到材料所蕴含的数学意义上来。就拿积木来说，有同样的颜色、大小、形状，但是它们摆设方式不同，这样可以让孩子理解到材料的变化，帮助孩子建立数的概念。除了同样颜色、形状、大小类型或者无色的材料以外，我们也可以给孩子呈现不同颜色、形状、大小的材料，为儿童选择操作材料时要注意其视觉方面的丰富性以及生活中真实物体的相似性，无论使用什么样的操作材料，老师都需要明确向孩子们解释操作材料和它所代表的数学概念之间的关系。而建立这一联系孩子需要大量的练习和经验去实践。
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关于儿童数学教育中的图像表征，我们可以从绘本、图画、图表和视觉图像四个方面进行举例说明。首先是绘本，绘本以数字、图形、概念等数学知识为内容，让数学生活化、故事化，帮助儿童更好地接受与理解。只要留心，老师们会发现许多的儿童绘本中都包括了非常丰富的数学概念。其次是图画，数学概念是抽象的，但图画是具体的，孩子们都喜欢画画，当他们还不大能够准确地用数学符号来表示数学思维的时候，图画就不失为一种替代方式。在图画中，我们可以看到儿童对数学不同的理解，看到儿童数学发展的脉络。
在幼儿园时，我和小班孩子们一起做了一个数学游戏，这个游戏说的是：有9只小熊出去玩，可是他们只带了5个甜点。如果让孩子用操作材料、图画或者是符号来表示，就可以看到孩子对数学的理解。有的孩子把它画成一幅图画，显然是和数学没有任何关系的；有的孩子画了不同的熊或者是甜品还写了一个6的字，就说明孩子的数概念开始有所发展了。
此外还可以使用图表，图表也可以有不同的形式，比如说：实物图表、操作材料图表、图画图表以及数学图表。一般来讲实物图表最具体，而数学图表最抽象。
最后一种是视觉图像，孩子们都喜欢数数，但不是让孩子机械数数，而是把数字与数轴联系起来，我们就可以直观看到数字1、2、3、4在左边数轴是很小的，但数到12、13、14 甚至90、100时，数轴会越来越向右，它的距离会越来越长，它的数量也就越来越大，这种直观的视觉图像会大大增加儿童对数和量概念的认识。
数学天才儿童的研究也表明有些孩子具有较强的视觉数学能力，那视觉数学的作用是什么？它让孩子在脑海里看到了数学，让抽象的数学形象化、具体化，促进孩子对数学的理解。生活中也有一些视觉图像的材料，比如说5连格、10连格等，这些都可以帮助孩子有效地建立5以内或者10以内数的组合与分解。
其实视觉信息主要是调动了左右大脑半球的交流，通过强化两个大脑半球之间的互动来优化数学学习与理解。视觉数学有益于儿童数学的操作与学习。鼓励儿童进行数学视觉思维，实际上也是在帮助他们加强大脑左右半球的交流，促进他们更好地理解数学。
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儿童数学教育中的符号表征主要表现在数学语言的作用，什么是数学语言呢？简单的说就是与数字、数学概念相联系的一些词汇，比如说这一共是5个手指头，你们用了许许多多的长方形积木，你看看它高我低，我们量一量这张桌子到底有多长？
在谈到数学语言的作用之前，先给大家介绍一个实验研究，这个实验研究的研究者提出了两个问题，第一个问题是幼儿教师在使用数字词汇方面有什么不同？第二个问题是这种不同在多大程度上会影响儿童数概念的发展？这个研究是美国芝加哥大学的心理学家做的，他们观察了26个中班的老师和学生，每一个孩子老师观察三次。他们聚焦在早晨的集体教学活动中，对老师的谈话录音然后进行记录和分析，发现幼儿教师与儿童的谈话中使用数字有关的词汇，只是数字，老师们使用数字谈话的范围在三次活动中从1到104，有的老师只用了一次，有的老师用了104次，平均数值为28。
在这里，我们强调的不仅仅是1和104之间在数量上的差别，更重要的是想要知道老师使用数字在多大程度上会影响儿童的数学成绩，实验者把教师使用数字词汇的频次和儿童的数学学习成绩做一个相关分析，发现教师使用数字词汇越多，儿童的学业成绩也就越好。
下面再给大家举个例子，这个例子是美国纽约五岁半的孩子与老师之间的数学谈话活动，他使用的材料是一种自制的10方格。
数学谈话是一种常规性的活动，可以一个星期5次，也可以每天都有，每次很短，几分钟就结束了。这个活动一般是基于孩子们已经学过，但还没有完全掌握的概念和技能，比如说美国这个老师的主要目的是让孩子们熟悉小数目10以内的组成，所以他使用了10方格的卡片，让孩子们观察到底是几个点在格子里，再让孩子们讲出你怎么知道这是5，这是6，这是7或者这是10的，让孩子自由发言，教师不针对孩子的回答做过多的评价。
在这个过程中可以看到孩子用很多不同的方法来解决问题，有的孩子一看就知道答案了，有的孩子会说方格里还有三个空格没有数字所以代表了数字7等等，从中可以看到儿童使用不同的方法解决问题，他们会进行发散性的思考，并表现出对数概念的掌握程度。我们之所以强调数学语言，是因为幼儿学习数学，不仅需要动手操作，还需要通过思考和交谈语言，让他们的思维更具体化、清晰化，也更概念化。
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根据皮亚杰的理论，儿童的数学思维发展被认为是直线型的过程，即从具体到抽象。今天，我们对儿童数学思维的发展有了新的理解，即思维有三种形式，并且是同时存在、同时运作的，只是它的运作形式和程度有所不同。
儿童年龄越小，具体思维的程度就越大，抽象思维的程度就会越小，那么在教学中的具体性、形象性也应该越强，但这并不表明我们要排斥抽象思维形式。在幼儿数学教学管理中，数学是一种抽象的思维，是精确思维的学科，幼儿数学也是朝这个方向来努力发展的。
因此，我们应当在适当的时候用适当的方式与儿童进行数学对话，给他们介绍有关数学概念有关的符号，这些都是必要的；我们要帮助儿童用手、脚、身体、眼睛、耳朵和大脑来学习数学的三种表征方式，有意识地运用在实际的教学活动中，发展儿童的数学概念。
很多家庭也很重视早期的数学教育，但由于家长缺乏关于数学教育的认识，很容易走入误区。而且很多幼儿园教师不知道如何开展数学领域的活动，也会因为活动没有新意而无法吸引幼儿的学习注意力。 其实幼儿是天生的学习者，研究发现：1岁左右是婴儿掌握初级数概念的关键期；2岁左右是婴儿计算能力发展的关键期。教师和家长要把握幼儿的关键期，从小培养幼儿的数学兴趣。
本期，我们跟随陈杰琦教授，从幼儿认知发展以及尊重儿童数学学习发展规律这个角度与大家一起来探讨这个问题。幼儿数学的聚焦点是三角形，这个三角形代表的是三位一体的表征方式，包括行动表征、图像表征还有符号表征，这三种表征方式相互联系，相互影响，共同促进儿童数学概念和技能的发展。
内容转载自：人文幼学 内容来自2021年OMEP亚太区域探讨会陈杰琦主题报告《高质量幼儿园数学教育研究的新进展》
最新研究表明，手势有助于儿童数学学习
在行动表征上主要围绕手势和操作材料两个方面。过去数学学习不大主张用手指来帮助学习，我们认为这是比较低级思维的表现，但最新的研究表明，手势的确有助于儿童的数学学习。
芝加哥大学做了一项研究实验的对象是二年级的学生，对于“2+9+4=？”的数学问题，老师用了两种方式与孩子们探讨。一种是纯语言的提问，另一种是老师用语言再加手势，帮助孩子把数学问题直观化。结果显示，语言加手势这一组的儿童做同一类数学问题的正确率都高于纯语言的，并且在统计学上有显著差异，这种学习效果还表现在儿童解决不同类型的数学方面，这说明学习能力是有迁移的。 幼儿园的老师或许有所疑惑，因为幼儿园不会教这些具体数学计算问题，这个实验的意图是什么？不错，二年级学生的数学问题是不会在我们学前儿童教室出现的，但是这个研究却给了我们一个启示，也就是说手势是可能有助于儿童数学学习的。在幼儿数学教育中，实际上老师也用了很多的手势，比如举起手指提问这里一共有多少，你看这是高还是低，是长还是短，是近还是远，这是圆形还是三角形等。
我们不要忘记用手指和玩手指的游戏，手指是我们随身携带的，可以帮助孩子理解10以内小数量的工具；研究表明灵活地运用手指能促进儿童的数学认识；当把手指与有关数量的儿歌、图像、符号还有数学书写联系起来时，我们就把儿童的具体思维、形象思维和抽象思维都结合在一起了。
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通过操作材料和动手
习得数学概念
一般而言操作材料是具体的、直观的，它们有不同的颜色、形状、大小、类型，由于儿童思维的具体性和直观性决定他们首先注意到的是这些材料的表面特点，而不会形成数的概念。譬如说孩子看到一个纸杯时会认为是用来喝水的，铅笔是用来画画的，熊妈妈和熊爸爸是一家人，这些具体的材料不会自动帮助儿童形成数的概念。
这个关系的连接并不是直接的，我们再举个例子，一个苹果被平均分为4等分，当孩子看到这个苹果时，他们首先想到的可能是颜色，可能是味道，他不会自然的把4份苹果和均分的概念联系在一起。当然均分不仅仅是分苹果，可以是纸张，也可以是其他材料的分类。也就是说均分是一个抽象的概念，而操作的材料是具体的。这里引用两位美国心理学家谈论儿童数学学习时提及的问题，第一个是密西根大学的Deborah Ball，他说“尽管肌肉运动有助于儿童的感知和思维，理解不会直接从手指上传递至胳膊，在大脑中构建概念的”。我们知道儿童的思维是具体的形象，但有了具体感知的东西，并不能直接等同于概念的形成。
还有一位心理学家 David Uttal，他是西北大学的教授，他说“幼儿不是总能够把操作材料与其代表的数学概念概念连接起来的”。但这并不是说我们不需要操作材料了，其实操作材料在幼儿数学学习中至关重要，它为抽象的数学概念奠定了一个必要的、可摸的、可动的思维台阶。
对于操作材料的选择大有研究，在儿童刚接触数学概念时，应该选择视觉冲击较小或者颜色、形状、大小、类型相同的材料，把儿童的注意力从材料表面的现象、特点转移到材料所蕴含的数学意义上来。就拿积木来说，有同样的颜色、大小、形状，但是它们摆设方式不同，这样可以让孩子理解到材料的变化，帮助孩子建立数的概念。除了同样颜色、形状、大小类型或者无色的材料以外，我们也可以给孩子呈现不同颜色、形状、大小的材料，为儿童选择操作材料时要注意其视觉方面的丰富性以及生活中真实物体的相似性，无论使用什么样的操作材料，老师都需要明确向孩子们解释操作材料和它所代表的数学概念之间的关系。而建立这一联系孩子需要大量的练习和经验去实践。
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数学中的4种图像表征：
绘本、图画、图像以及视觉图像
关于儿童数学教育中的图像表征，我们可以从绘本、图画、图表和视觉图像四个方面进行举例说明。首先是绘本，绘本以数字、图形、概念等数学知识为内容，让数学生活化、故事化，帮助儿童更好地接受与理解。只要留心，老师们会发现许多的儿童绘本中都包括了非常丰富的数学概念。其次是图画，数学概念是抽象的，但图画是具体的，孩子们都喜欢画画，当他们还不大能够准确地用数学符号来表示数学思维的时候，图画就不失为一种替代方式。在图画中，我们可以看到儿童对数学不同的理解，看到儿童数学发展的脉络。
在幼儿园时，我和小班孩子们一起做了一个数学游戏，这个游戏说的是：有9只小熊出去玩，可是他们只带了5个甜点。如果让孩子用操作材料、图画或者是符号来表示，就可以看到孩子对数学的理解。有的孩子把它画成一幅图画，显然是和数学没有任何关系的；有的孩子画了不同的熊或者是甜品还写了一个6的字，就说明孩子的数概念开始有所发展了。
此外还可以使用图表，图表也可以有不同的形式，比如说：实物图表、操作材料图表、图画图表以及数学图表。一般来讲实物图表最具体，而数学图表最抽象。
最后一种是视觉图像，孩子们都喜欢数数，但不是让孩子机械数数，而是把数字与数轴联系起来，我们就可以直观看到数字1、2、3、4在左边数轴是很小的，但数到12、13、14 甚至90、100时，数轴会越来越向右，它的距离会越来越长，它的数量也就越来越大，这种直观的视觉图像会大大增加儿童对数和量概念的认识。
数学天才儿童的研究也表明有些孩子具有较强的视觉数学能力，那视觉数学的作用是什么？它让孩子在脑海里看到了数学，让抽象的数学形象化、具体化，促进孩子对数学的理解。生活中也有一些视觉图像的材料，比如说5连格、10连格等，这些都可以帮助孩子有效地建立5以内或者10以内数的组合与分解。
其实视觉信息主要是调动了左右大脑半球的交流，通过强化两个大脑半球之间的互动来优化数学学习与理解。视觉数学有益于儿童数学的操作与学习。鼓励儿童进行数学视觉思维，实际上也是在帮助他们加强大脑左右半球的交流，促进他们更好地理解数学。
04/
教师使用数学语言越多，儿童学业成绩越好
儿童数学教育中的符号表征主要表现在数学语言的作用，什么是数学语言呢？简单的说就是与数字、数学概念相联系的一些词汇，比如说这一共是5个手指头，你们用了许许多多的长方形积木，你看看它高我低，我们量一量这张桌子到底有多长？
在谈到数学语言的作用之前，先给大家介绍一个实验研究，这个实验研究的研究者提出了两个问题，第一个问题是幼儿教师在使用数字词汇方面有什么不同？第二个问题是这种不同在多大程度上会影响儿童数概念的发展？这个研究是美国芝加哥大学的心理学家做的，他们观察了26个中班的老师和学生，每一个孩子老师观察三次。他们聚焦在早晨的集体教学活动中，对老师的谈话录音然后进行记录和分析，发现幼儿教师与儿童的谈话中使用数字有关的词汇，只是数字，老师们使用数字谈话的范围在三次活动中从1到104，有的老师只用了一次，有的老师用了104次，平均数值为28。
在这里，我们强调的不仅仅是1和104之间在数量上的差别，更重要的是想要知道老师使用数字在多大程度上会影响儿童的数学成绩，实验者把教师使用数字词汇的频次和儿童的数学学习成绩做一个相关分析，发现教师使用数字词汇越多，儿童的学业成绩也就越好。
下面再给大家举个例子，这个例子是美国纽约五岁半的孩子与老师之间的数学谈话活动，他使用的材料是一种自制的10方格。
数学谈话是一种常规性的活动，可以一个星期5次，也可以每天都有，每次很短，几分钟就结束了。这个活动一般是基于孩子们已经学过，但还没有完全掌握的概念和技能，比如说美国这个老师的主要目的是让孩子们熟悉小数目10以内的组成，所以他使用了10方格的卡片，让孩子们观察到底是几个点在格子里，再让孩子们讲出你怎么知道这是5，这是6，这是7或者这是10的，让孩子自由发言，教师不针对孩子的回答做过多的评价。
在这个过程中可以看到孩子用很多不同的方法来解决问题，有的孩子一看就知道答案了，有的孩子会说方格里还有三个空格没有数字所以代表了数字7等等，从中可以看到儿童使用不同的方法解决问题，他们会进行发散性的思考，并表现出对数概念的掌握程度。我们之所以强调数学语言，是因为幼儿学习数学，不仅需要动手操作，还需要通过思考和交谈语言，让他们的思维更具体化、清晰化，也更概念化。
05/
不要排斥抽象思维，并朝之努力发展
根据皮亚杰的理论，儿童的数学思维发展被认为是直线型的过程，即从具体到抽象。今天，我们对儿童数学思维的发展有了新的理解，即思维有三种形式，并且是同时存在、同时运作的，只是它的运作形式和程度有所不同。
儿童年龄越小，具体思维的程度就越大，抽象思维的程度就会越小，那么在教学中的具体性、形象性也应该越强，但这并不表明我们要排斥抽象思维形式。在幼儿数学教学管理中，数学是一种抽象的思维，是精确思维的学科，幼儿数学也是朝这个方向来努力发展的。
因此，我们应当在适当的时候用适当的方式与儿童进行数学对话，给他们介绍有关数学概念有关的符号，这些都是必要的；我们要帮助儿童用手、脚、身体、眼睛、耳朵和大脑来学习数学的三种表征方式，有意识地运用在实际的教学活动中，发展儿童的数学概念。
文字整理/陈梓汇
图片/温笑寒摄于绵阳市少年宫幼儿园
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